Dentro brevemente
- Um professor da Rutgers explora por que os números complexos são tão usados na mecânica quântica, apesar de sua inevitabilidade matemática, particularmente em seu papel na descrição do spin das partículas.
- Existem outras formulações, como o uso de números reais ou quatérnios, porém os números complexos fornecem uma maneira mais natural e eficiente de representar sistemas quânticos.
- O trabalho pode ter um impacto na indústria de tecnologia quântica, com potencial para influenciar novos métodos de computação quântica e remodelar a forma como os pesquisadores pensam sobre a mecânica quântica.
Os físicos há muito afirmam que os números complexos são essenciais para a mecânica quântica, uma afirmação que diferencia a teoria quântica da física clássica, onde tais números são amplamente considerados impraticáveis.
Mas, eles são realmente importantes?
Num artigo no site da American Philosophical Association, Jill North, professora de filosofia na Rutgers University, examina por que, apesar de terem mudado em princípio, os números complexos parecem se encaixar naturalmente na mecânica quântica e no mundo que ela descreve.
North argumenta que embora os números complexos possam parecer importantes, eles não são realmente necessários.
“Qualquer teorema real pode ser formulado matematicamente de várias maneiras, e é um simples fato da matemática que qualquer expressão envolvendo números complexos pode ser reescrita em termos matemáticos reais”, escreveu North.
Enigma Central: Por que Números Complexos?
Se você é como eu e passou muitas manhãs frescas de outono observando as folhas passarem pela janela da sala de aula enquanto seu professor de Álgebra II discute números complexos, preparei um começo.
Os números complexos podem ser definidos como objetos matemáticos compostos de duas partes: um número real e um número simbólico. A parte real é normal – o tipo de número que você encontra na vida cotidiana, como 3 ou -5. A parte imaginária, entretanto, envolve a raiz quadrada de -1, muitas vezes denotada como “i”, que não está na reta numérica regular. Juntos, o número complexo pode ser assim: 3 + 2i. Embora os números reais possam descrever quantidades básicas como distância ou tempo, os números complexos permitem descrições muito diferentes de sistemas físicos. Provavelmente é por isso que, apesar do fato de que os números complexos podem fornecer uma maneira mais natural e compacta de capturar a complexidade dos sistemas quânticos do que apenas os números reais. Mais tarde, exploraremos alguns exemplos desses aspectos complexos e sutis da mecânica quântica.
A pesquisa de North, então, concentra-se em descobrir aquele mistério fundamental que reside na intersecção da mecânica quântica e da matemática. A física clássica – o conjunto de leis que regem as coisas cotidianas – parece ir além dos números complexos. Mas a mecânica quântica, que trata do comportamento das partículas subatômicas, depende muito delas.
“Raramente é discutido na comunidade física por que os números complexos são tão importantes para a mecânica quântica”, escreveu North, uma ideia que serviu de motivação para explorar esta questão em profundidade.
Os números complexos fornecem uma boa descrição de sistemas quânticos, especialmente quando se trata de representar estados quânticos, como a rotação de partículas – um conceito que não tem analogia direta na física clássica. O spin, uma propriedade fundamental das partículas quânticas, como elétrons e quarks, é fundamental para a compreensão de como as partículas se comportam no nível quântico.
“A ideia básica (que explico num artigo subsequente) é que deve haver 'espaço' suficiente na formulação para acomodar todos os estados possíveis do sistema, e a ordenação numérica complexa permite-nos fazê-lo. isso de uma forma muito natural e direta”, escreveu North. “Os números complexos não são absolutamente necessários, mas dados os resultados experimentais envolvendo rotação, deveria haver algo em princípio que mostrasse a estrutura dos números complexos.”
Usar apenas números reais para descrever esses sistemas é possível, mas leva a problemas matemáticos difíceis.
“Estruturas complexas não precisam dessas restrições extras”, escreveu North. “É mais simples, não tem a matemática extra que precisa ser entregue manualmente no design paralelo real.”
Isso levanta a questão: o que há no mundo descrito pela mecânica quântica que torna os números complexos uma ferramenta tão poderosa para modelá-lo? North escreve que acredita que a resposta está em como a mecânica quântica, especialmente com spin, requer uma estrutura matemática que reflita o comportamento de números complexos.
Implicações para a indústria de tecnologia quântica
Conclusão: a investigação de North não é apenas um puzzle filosófico – pode ter implicações reais para a indústria da tecnologia quântica, que se baseia nos princípios da mecânica quântica para desenvolver novas tecnologias, particularmente na computação quântica. Na computação quântica, os qubits (bits quânticos) baseiam-se nos princípios de superposição e emaranhamento – ambos definidos usando números complexos, por exemplo.
No entanto, como aponta North, os números complexos podem não ser a única abordagem matemática para a compreensão deste fenómeno. Embora seja o método mais direto utilizado atualmente, outras fórmulas foram exploradas, como observa North: “Deveria ser possível, em princípio, repetir qualquer ordem que utilize números complexos em termos de números reais, a ordem de operação da mecânica quântica não é exceção. E, de facto, desde a década de 1960, existe uma formulação da mecânica quântica disponível que elimina números complexos (incluindo versões que utilizam apenas números reais e aqueles em termos de quaterniões).”
Além disso, talvez para relembrar, os quatérnios são uma extensão de números complexos, consistindo em uma parte real e três partes imaginárias. Os cientistas confiam neles para descrever a rotação no espaço tridimensional, por exemplo. O ponto importante é que, embora os números complexos sejam uma ferramenta matemática comum para representar estados quânticos, os quatérnios podem ser usados como uma estrutura alternativa, proporcionando vantagens para o gerenciamento de sistemas muito complexos, embora – infelizmente para os estudantes da folha de outono nas salas de aula – eles adicione camadas. de complexidade matemática.
Finalmente, é teoricamente possível que futuras investigações científicas sobre números complexos e outras variações da matemática possam levar a novos métodos em computação quântica que possam ser mais eficientes ou realistas, pelo menos em alguns casos.
Podemos imaginar que, à medida que a tecnologia quântica se torna mais complexa, diferentes modelos matemáticos podem fornecer diferentes formas de desenvolver algoritmos quânticos ou de lidar com certos desafios computacionais. O trabalho de North poderia fornecer uma compreensão mais profunda dos fundamentos teóricos desta tecnologia, o que poderia impulsionar futuras inovações.
Uma investigação sobre reivindicações recentes em mecânica quântica
A pesquisa de North também aborda afirmações experimentais recentes sobre a necessidade de números complexos. Nos últimos anos, dois grupos de pesquisa diferentes confirmaram experimentalmente que os números complexos são importantes na representação de certos fenômenos quânticos, especialmente em sistemas multipartículas. Esta descoberta gerou atenção significativa na comunidade científica e na mídia popular, com artigos anunciando a “necessidade” de números complexos na mecânica quântica.
No entanto, o filósofo sempre duvida dessas conclusões. Ele escreve: “Dados os fatos matemáticos, isso não pode estar certo.
De acordo com North, as afirmações experimentais dependem de certas suposições que enfraquecem as conclusões gerais.
“Em particular, a conclusão a que devemos chegar é que um tipo de construção original não pode dar conta do recado”, escreve ele. “Não que nenhum design real possa.”
Esta diferença sutil, mas importante, deixa aberta a possibilidade de que a mecânica quântica possa ser reformulada usando diferentes estruturas matemáticas.
A influência da filosofia e da ciência
O artigo aborda questões filosóficas profundas que vão além da mecânica quântica. O trabalho de North faz parte de um esforço maior para compreender por que certas partes da matemática parecem ser mais eficazes na explicação de certas teorias físicas. Esta investigação da ligação entre a matemática e a realidade pode ter implicações de longo alcance para os fundamentos da física.
Outra lição importante da filosofia é a importância das estruturas “manifestadas” – estruturas matemáticas que refletem naturalmente a estrutura da realidade física. Como observa North, esta ideia tem precedentes históricos: muitas descobertas científicas foram feitas quando a estrutura matemática correta ilumina conexões anteriormente ocultas. A mecânica quântica, com a sua dependência de números complexos, pode ser outro caso em que a matemática fornece uma imagem mais clara da realidade.
O seu trabalho também contribui para o debate em curso sobre a realidade da função de onda – a questão de saber se a função de onda, um fenómeno central na mecânica quântica, representa uma entidade física real ou serve apenas como uma ferramenta matemática. North argumenta que a inclusão do spin complica ainda mais este argumento, uma vez que a função de onda deve agora representar não apenas um campo de valor complexo, mas um campo de valor de espinor.
North escreve que recebeu recentemente uma bolsa da National Science Foundation (NSF) para investigar o papel dos números complexos na mecânica quântica e continua a apoiar esta pesquisa sobre por que os números complexos parecem ser ferramentas simples na teoria quântica.
